Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики

Пояснительная записка.

Программа, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлена на систематизацию знаний, в том числе и методов решения задач, реализацию внутрипредметных связей, с другой – служит для дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории.

Данная программа своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения, которым захочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями; развить математические способности; повысить уровень обученности учащихся; подготовить учащихся к сдаче итогового экзамена и вступительных экзаменов в вузы.  Программа рассчитана на учащихся разного уровня подготовки.

Цель: развитие логического мышления учащихся, распознавание и раскрытие их способностей в системе ЕМН.

Задачи:

• Расширить знания учащихся о методах решения алгебраических уравнений, неравенств и систем;
• Познакомить с различными методами решения иррациональных алгебраических задач и алгебраических задач с параметрами;
• Расширить знания перечисленной комбинаторики;
• Научить интерпретировать задачи на координатной плоскости, проводить графический анализ уравнений;
• Сформировать навыки сотрудничества в процессе групповой работы.

Актуальность программы:

Переход к ЕМН на старшей ступени образования требует углубленной математической подготовки от учащихся. Данная программа систематизирует и углубляет базовые зания учащихся, позволяет оптимально развить творческие способности и интерес в области математики, и заинтересовать этой наукой учащихся, как ихбудущей профессией.

Новизна: Вводятся следующие теоретические и практические разделы: логика алгебраических задач, многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения, рациональные алгебраические уравнения и неравенства, рациональные алгебраические системы.

Технологии и методики:

• Лекция
• Выступления
• Индивидуальная и групповая деятельность

Ожидаемый результат:

При реализации данной программы результативность будет определяться количеством и качеством самостоятельно решенных математических задач уровня возможностей (то есть задач так называемой «конкурсной математики», требующих специальных эффективных приемов решения).

В работе с учащимися на занятиях применяются: блочно-модульный подход в преподавании математики; принцип дифференциации и индивидуализации; разноуровневыйдидактический материал.

На изучение целесообразно отвести 34 аудиторных часа, распределив нагрузку по темам следующим образом:

Учебно - тематический план

Содержание:

1. Логика алгебраических задач. (8ч)

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными

Множество решений задачи. Следование и равносильность задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств

Сложные алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений.

Системы и совокупности задач

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости

1. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (12ч)

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Cтепень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление с остатком. Алгоритмы деления с остатком

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу. Кратные корни

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета

Элементы перечислительной комбинаторики. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета

Квадратные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени

Угадывание корней и разложение. Схема разложения Феррари

Куб суммы и разнрости. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано

Графический анализ кубического уравнения. Неприводимый случай.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.

1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6ч)

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупности систем

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств

1. Рациональные алгебраические системы(8 ч)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключений переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса. Рекурентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены.

Система Виета и симметрические системы с двумя переменными

Метод разложения при решении систем уравнений

Метод оценок и итераций при решении систем уравнений

Литература.

1. Завич Л.И, 3600 задач по алгебре и началам анализа для школьников поступающих в ВУЗы. М.,Просвещение, 2013
2. Математика: Большой справочник для школьников поступающих в ВУЗы. М., Дрофа, 2012
3. CD-ROM «Алгебра 10-11»
4. CD-ROM «Математика абитуриенту»
5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10, 11 класс. Москва «Просвещение» 2002г.