Сегодня, интерес к решению функциональных уравнений повышается среди учителей школ и преподавателей вузов. И это не удивительно, так как задания где необходимо решить те самые функциональные уравнения очень часто появляются на олимпиадах по математике.
Функциональные уравнения имеют огромное количество методов решения, начиная от простейших, как метод перебора значений переменных, метод подстановок, до таких, как методы решения функциональных уравнений с применением теории групп, применении теории матриц, дифференцирования и т.д.
В данной статье мы будем рассматривать некоторые типы функциональных уравнений, которые можно встретить на различных математических олимпиадах различного уровня. А именно, задачи, в которых в качестве искомой функции выступает периодическая функция, и задачи, требующие для решения функционального уравнения – метод дифференцирования.
1. Метод дифференцирования. Перед рассмотрением данного метода школьниками, ученикам необходимо дать понятие о теории дифференциальных уравнений, к примеру, на материале из физики – связь перемещения, скорости, ускорения. При этом достаточно ограничиться рассмотрением дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.
Суть данного метода состоит в сведении функционального уравнения к дифференциальному уравнению. Обычно это достигается путем дифференцирования функционального уравнения последовательно по каждой из переменных.
Очевидно, что при применении этого метода природа решения ограничена требованием дифференцируемости.
Не удивительно, что термин «функциональные уравнения» вызывает определенные трудности у учащихся и учителей, потому как до сих пор изучение функциональных уравнений не предусмотрено программами математических дисциплин вузов и школ.
Напомним, как известно, решениями знаменитых функциональных уравнений Коши являются основные элементарные функции, такие как линейная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, которые хорошо знакомы из школьного курса математики. Элементарными обычно называют функции, полученные из основных элементарных функций и постоянных путем применения арифметических операции и композиции.
Актуальность изучения функциональных уравнений доказывается не только изучением различных методов решения, но также интересна и методика преподавания функциональных уравнений в школьном курсе и в вузах.
Именно поэтому функциональные уравнения очень интересны и являются частыми гостями математических олимпиад.
